Kalmár döntő 2013

Feladatok
8. osztály

Minden feladat 7 pontot ér, így a maximális pontszám 70 pont.

1. kör (május 31.)

1. Egyszer két juhász így beszélgetett:
- Adj nekem 8 bárányt, akkor nekem is annyi lesz, mint neked!
- Inkább te add nekem a bárányaid felét, s akkor nekem 7-szer annyi lesz, mint neked.
Hány báránya volt egyik-egyik juhásznak?

2. A tavon úszott egy labda, majd a tél beálltával befagyott a tó vize, s befagyott a labda. A labdát sikerült eltávolítani, így visszamaradt egy 24 cm átmérőjú, 6 cm mély "lyuk". Mennyi a labda sugara? (Feltételezzük, hogy a labda gömb alakú, gumiból készült és belül üres! A labda középpontja a víz felszíne felett volt.)

3. Egy körbe írható hatszögnek 6 darab 120°-os szöge van. Következik-e ebből, hogy a hatszög szabályos?

4. Dudley Langford skót matematikus tiszteletére nevezzük DudLa számoknak azokat a számokat, amelyeknek minden számjegye legalább kétszer szerepel a számban, és az is igaz, hogy bármely két ugyanolyan értékű számjegy között annyi darab más értékű számjegy áll, mint amennyi azok értéke. Például ilyen DudLa szám a 723121327, mert két 1-es között 1 db, két 2-es között 2 db, két 3-as között 3 db, két 7-es között 7 db tőle különböző értékű számjegy áll. Ha a számban 3 vagy több ugyanolyan számjegy van, csak a szomszédosakra vonatkozik a szabály. Melyek a 7-jegyű DudLa számok?

5. Van egy ABCDE szabályos ötszög. Az A csúcsból állítsunk merőlegeseket a BC, CD és DE oldalak egyenesére. A merőlegesek talppontjai legyenek rendre Q, P és R. Legyen O az ötszög köré írható kör középpontja. Ha OP=1, akkor mivel egyenlő AO+AQ+AR?

2. kör (június 1.)

1. Bontsd fel a 13157-et négy szám összegére úgy, hogy ha az első részhez 2-t hozzáadunk, a második részből 3-at elveszünk, a harmadik részt 7-tel megszorozzuk, a negyedik részt 11-gyel elosztjuk, akkor mindig ugyanazt a számot kapjuk.

2. Egy tíz résztvevős asztalitenisz-versenyen mindenki pontosan egyszer játszott mindenkivel. Az egyes versenyzők győzelmeinek száma a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, vereségeinek száma rendre A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Bizonyítsd be, hogy a versenyzők által szerzett győzelmek számának négyzetének összege ugyanannyi, mint a vereségek számának négyzetének összege.

3. Keress olyan prímszámokat, amelyekre igaz, hogy alkalmas számrendszerben felírva a számrendszer minden számjegyét pontosan egyszer használjuk fel? (0 nem állhat elöl!) Igazold, hogy a 7-es, illetve a 10-es számrendszerben nincs ilyen szám.

4. Legfeljebb hány oldalú lehet egy olyan konvex sokszög, amely feldarabolható félszabályos háromszögekre? (A feldarabolás során csak félszabályos háromszög keletkezhet, más alakzat nem.)

5. Bizonyítsd be, hogy minden természetes szám előállítható a² + b² - c² alakban, ahol a,b,c egész számok!

Eredmények