Kalmár matek döntő 2012

 Kalmár László matematikaverseny 2012-es döntő feladatai:

7. osztály
Döntő 1. kör (június 28.)
feladatok
 

1.       Számítsuk ki a következő 13 tört összegét:

11    1111     111111           11...11

--- + ------- + ---------- + ... + ---------

13    1313     131313           13...13

 2.       Tíz különböző pozitív egész szám összege 62. Igazoljuk, hogy a számok szorzata osztható 60-nal.

3.       Az a, b és c betűk számjegyeket jelölnek. Van-e négyzetszám az abcabc alakú hatjegyű tízes számrendszerbeli számok között?

4.       Melyek azok az n egész számok, amelyekre a (3n-6)/(n+3)  tört értéke egész szám?

5.       Egy tetszőleges háromszöget daraboljunk fel négy egyenlőszárú háromszögre.

Döntő 2. kör (június 29.)
feladatok

1.       13 különböző pozitív egész szám összege 92. Melyek ezek a számok?

2.       Egy régi feladat: „Egy gazdag ember elment a vásárba és vett kecskéket, birkákat és malacokat. A kecskék darabjáért 2 aranyat, a birkák darabjáért 4 aranyat, a malacok darabjáért 5 aranyat fizetett, így összesen 54 aranyat adott ki az állatokért. 22 állatot vitt haza a vásárból. Hányat vitt haza az egyes állatfajtákból?”

3.       Az a és b számjegyekről tudjuk, hogy a * b = a + b + 1.  Melyek lehetnek a 10a + b alakú kétjegyű számok?

4.       Adott egy 120°-os szárszögű egyenlőszárú háromszög. Daraboljuk fel 5 egyenlőszárú háromszögre.